Число Пи и море Соломона

В 7-й главе 1-й книги Млахим (Царей) приводится описание медного моря, сделанного мастером Хирамом из Цура по приказу царя Соломона. «И сделал он море литое десять локтей от края до края круглое вокруг, и пять локтей высота его и линия в тридцать локтей опоясывала его вокруг» (стих 23) (см. вид сбоку и вид сверху ). Поскольку диаметр сосуда был 10 локтей, а периметр 30, то следовательно их отношение равно трём. Довольно грубое приближение числа π=3.1415…! Может диаметр в 10 локтей включал толщину стенок сосуда, а периметр 30 измерялся изнутри? В трактате Эйрувин (стр. 14а) Вавилонского Талмуда действительно высказывается такое предположение. Но оно тут же отвергается. Талмуд цитирует 26-й стих из той же главы, в котором написано «и толщина его в ладонь и край его как край стакана, цветок шушана (лилия?)». Талмуд понимает отсюда, что толщина края ничтожна. Кроме того Талмуд утверждает, что обе меры — диаметр и периметр — внутренние. Отсюда Талмуд приходит к выводу, что отношение длины окружности к её диаметру равно 3! В дальнейшем Талмуд обсуждает объём сосуда. В конце 26-го стиха написано «2000 бат содержал». Мера «бат» равняется 9/40 кубического локтя. Таким образом объём сосуда 450 куб. локтей. Но Талмуд делает расчет объёма цилиндра предполагая, что π=3 и получает 3·5²∙5=375 куб. локтей, т.е. в 5/6 раз меньше! Тогда Талмуд приводит высказывание («берайта»), что море Соломона три нижних локтя было квадратное, а два верхних — круглое. Отсюда объём сосуда равен 10²∙3+3·5²·2=450, в точности как требуется! Надо понять, неужели мудрецы Талмуда считали что π=3? Ведь даже грубое измерение сразу же покажет, что π>3! Приближение π с помощью 22/7 было известно в древности. Невозможно себе представить, что царь Соломон, мудрейший из всех людей, не знал этого элементарного факта. И при этом ему удалось вылить гигантский медный сосуд заданного размера и объёма.

Кто то обратил внимание (приписывают это Виленскому Гаону, но в его книгах этот факт не упоминается) на то, что слово «линия» в вышеупомянутом стихе 23 написано странным способом. А именно, написано там קוה (Куф, Вав, Гей) вместо правильного קו , а на полях текста отметка, что читать надо קו (Куф, Вав). В Танахе имеется несколько случаев, когда слово пишется одним способом, а читается немного иначе. Мы, как правило, не знаем причину этих разногласий. В данном случае было предложено следующее объяснение. Как известно, буквы иврита имеют численное значение: алеф=1, бет=2, гимел=3, далет=4, гей=5, вав=6 и т.д., йуд=10, каф=20, ламед=30 и т.д., куф=100, рейш=200 и т.д. Слова имеют численное значение (гематрию) равное сумме их букв. Поэтому слово קוה имеет численное значение 100+6+5=111 а слово קו — 100+6=106. Если мы помножим «неправильное» отношение 30/10, написанное в явном тексте, на поправку קו/ קוה =111/106, то получим 333/106=3.141509. Это приближение π=3.1415926… с 5 знаками. Число π, как и любое иррациональное число, представляемо бесконечной непрерывной дробью a +1/( b +1/( c +1/( d +…)). В случае π, a =3, b =7, c =15, d =1. Дробь 333/106=3+(1/(7+1/15)) является вторым приближением числа π. Первым приближением является дробь 22/7 а третьим 355/113=3.1415929… Поразительным является факт, что первые 3 приближения числа π необычайно эффективны, т.е. очень близки при малых знаменателях.

Но на мой взгляд, эта поправка קו/ קוה имеет не только численный смысл. Слово קוה женского рода ( в иврите слова женского рода почти всегда оканчиваются на ה ), а слово קו мужского. Письменное представление слова называется «масорет» — מסורת и оно женского рода, а устное произношение называется «микра» — מקרא и оно — мужского рода. С другой стороны, в паре окружность-диаметр, окружность является женским, материальным понятием (как например земля-мать) а прямая мужским, духовным (как дождь, орошающий землю). Поэтому слово קוה относится к окружности, а слово קו к диаметру. Как будто в стихе 23 написано «десять локтей קו от края до края» и « קוה в тридцать локтей опоясывала его вокруг». И тогда отношение окружности к диаметру будет (30 x קוה )/(10 x קו )=333/106. Интересно, что в скинии завета все предметы были прямыми. Может быть поэтому Рамбам изобразил Менору с прямыми ветвями? Если «на небесах», в духовном мире, нет круглых линий, то может быть окружность представлена там многоугольником. В случае периметра окружности такой моделью является правильный шестиугольник, а в случае площади — правильный двенадцатиугольник. В первом случае периметр равен 2·3·радиус описанного круга, а во втором площадь равна 3·квадрат радиуса описанного круга, как будто π=3. Поэтому мудрецы рассматривали π=3 не как допустимое приближение, а как отражение некоторой духовной истины.

Идея числа π как отношение женского и мужского начала замечательно иллюстрируется числом 135. Его удвоения 113355 и расщепления 113:355 приводит к отношению 355/113, которое приближает π с семью знаками! Аналогией является сотворение двуликого Адама и разделение его на мужчину и женщину. Эта аналогия прослеживается в объёме «капорет» — крышки ковчега. Её длина была 2.5 локтя или 15 ладоней, ширина 1.5 локтя или 9 ладоней и толщина в ладонь. Таким образом объём её был 135 куб. локтей. Из него вырастали два хирувима, мальчик и девочка, которые разделялись ничтожным просветом между их крыльями. Таким же был и объём серебряных подножий под балками Скинии Завета (внешние размеры их были 4.5∙6∙6 локтей из чего надо вычесть объём ног балок 1.5∙3∙6 локтей). Два подножия одевались на две ноги балки и как бы соединялись этой балкой. Мы снова встречаем число 135 в планировке Храмовой горы. По словам Трактата Мер («мидот») гл. 2, ширина внутреннего «мужского» двора и ширина и длина примыкающего к нему «женского» двора была в точности 135 локтей. Идея приближения числа π отношением 355/113 прослеживается и в святом языке. Число 355 это гематрия слова שנה — год. Длина еврейского 12-ти месячного лунного года также 354—355 дней. Кругооборот года является олицетворением окружности. Слово שנה означает также повторение, как возвращение на круге. Число 113 это гематрия слова פלג , половина или деление на части. Такая же гематрия и у слова חציה — деление пополам. А ведь эта суть диаметра, который делит окружность на две равные части. Получается что дробь 355/113 представляет собой отношение окружности к диаметру.

Вернемся к морю Соломона, а именно к его объёму. Как мы уже отметили, объём этот был 450 куб. локтей. Однако объём цилиндра диаметром в 10 и высотой 5 локтей равен π 5²∙5=392.7 куб. локтей. Если мы предположим в соответствии с Талмудом, что 3 нижних локтя моря были квадратом 10 на 10, а два верхних кругом диаметра 10 то получим объём 300+ π 5²∙2=457.08 куб. локтей. Можно конечно сказать что Писание округлило этот объём числом 450, или поставило его в соответствие с приближением числа π тройкой. Однако обнаружив в тексте Писания скрытый глубокий смысл, надо попытаться найти такой смысл и в объёме моря. Для этого надо понять, какими локтями измерялось море. Написано в трактате Эйрувин стр. 83а, что единица объёма «сеа» (равная 3/40 куб. локтям) в Иерусалиме была в 6/5 раза больше этой единицы в пустыне (Синай). Не сказано что длина локтя была также увеличена. Общепринятая мера локтя в наше время равна 48 см (так называемая мера раввина Нае). «Конкурирует» с ней мера Хазона Иша в 6/5 раз большая. В последнее время, изучая длину локтя упомянутую в книге пророка Ехезкеля (гл. 40) и её связь с размером земли Израиля (в гл. 48), я пришел к выводу, что этот локоть равен в точности 51 сантиметру (подробное описание этой связи можно найти на сайте Truth of land (truthofland.co.il) на иврите и на английском). Поскольку в книге Ехезкеля этим локтём измеряется жертвенник в Третьем Храме и поскольку (по мнению Рамбама) размеры жертвенника в будущем не изменятся, мы заключаем, что и храм царя Соломона измерялся локтем в 51 см. Интересно, что увеличение локтя в 51/48 раз, приводит к увеличению объёма в (51/48)³=1.19946… раз. Это число практически равно отношению 6/5=1.2 мер объёма в Иерусалиме и в пустыне. Напрашивается вывод: царь Соломон увеличил меру локтя с 48 на 51 см и в соответствии с этим увеличил объём в 6/5 раз. Почему же Талмуд не сообщил нам об этом увеличении локтя? Потому что это увеличение не соответствует в точности увеличению объёма! Тем не менее мудрецы упомянули в мидраше Берешит Раба 31, 10 что Храм измерялся особой мерой, первоначальным локтем, которым Ноах измерял свой ковчег. Теперь мы понимаем и смысл локтя Хазона Иша. Вышеупомянутый трактат Эйрувин стр. 83а упоминает, что когда Сангедрин после разрушения второго Храма переехал в город Ципори, то мудрецы увеличили меру объёма в 6/5 раз по сравнению с Иерусалимской. Добавим к этому, что в наше время под влиянием Хазона Иша, в Бней Браке увеличили меру объёма в третий раз в отношении 6/5. Трехкратное увеличение объёма соответствует одноразовому увеличению длины в 6/5 раз. Так появился локоть 6/5 x 48 см.

Вернемся к морю Соломона. Поскольку Храм измерялся локтем в 51 см то и море измерялось этим локтем. С другой стороны, его объём в 2000 бат измерялся мерами Торы, какими они были в пустыне. Поэтому объём этот оказался в 6/5 раз больше, чем объём цилиндра диаметром 10 и высотой 5, в полном соответствии с текстом Писания. Однако это соответствие основано на приближении π=3 и на другом приближении (51/48)³=1.2. Если мы возьмём правильное значение π и (51/48)^3, то объём будет в 1.04673 раз больше. Вернемся к описанию стенок моря в стихе 26 «и толщина его в ладонь и край его как край стакана, цветок шушана». Мы предположим что море было цилиндром диаметра 10 извне, так что толщина стенок уменьшала его внутренний объём. Эта стенка была толщиной в ладонь (равной 1/6 локтя) у дна моря и практически нулём у верхнего края. Какова форма цветка шушана? Наверняка не прямая. Самая простая линия после прямой это дуга окружности. Естественно представить, что эта дуга была перпендикулярна дну моря (см. вид сбоку ) . Нетрудно вычислить объём такой стенки. Обозначим радиус внешнего цилиндра через r=5, высоту его h=5, толщину стенки внизу d=1/6. Тогда радиус дуги равен R =( h ² + d ² )/(2 d )=75.0833. Стенка моря являются телом вращения вокруг оси моря. Её объём равен

V ₁ =2π∫( R + r — d — x )( R ² — x ² )^1/2 dx , R — d ≤x≤R

=2π(( R+r — d)(R²arcsin(r/R)-(R-d)h)/2-h³/3)=17.224386

Объём моря равен V = πr ² h — V ₁ =375.474696 куб. локтей 51 см. Если переведем их в локти 48 см, то получим 450.36796 куб. локтей. Почти нужный результат. Но мы не обратили внимание на украшение моря. В стихе 24 там написано «И шарики под его краем вокруг окружали его, десять в локте описывают это море вокруг, два ряда вылитых в его литье» (см. вид сверху ) . Может быть, эти шарики были вылиты в стенке моря изнутри и таким образом уменьшали объём моря? Если десять шариков было в одном локте, то диаметр каждого был 1/10 локтя. Интересно что древний перевод этого текста на арамейский (перевод Ионатана) называет эти шарики яйцами. По определению, объём яйца равен 1/1920 куб. локтя. Объём наших шариков равен 4/3π(1/20)³=1/1909.86. Если приблизим π отношением 25/8=3.125, то получим в точности 1/1920. Сколько шариков было в ряду? Если мы вычислим периметр через точное значение π, то получим 314.15 шариков. Скорее всего число шариков было «круглое», 300. Может поэтому написано в явном тексте, что периметр моря был в точности 30 локтей? Тут нет противоречия между числом шариков и действительным периметром, просто шарики не примыкали вплотную. Два ряда шариков это 600. Но поскольку шарики частично погружены в стенку, то мы должны вычесть общий объём шариков со стенкой. Мы предположим, что верхний ряд находится сразу же под краем моря, а второй ряд сразу под ним (см. вид сбоку ) . Тогда центр шариков первого ряда находится 1/20 локтя под краем моря, а второй 3/20 локтя под ним. Толщина стенки там соответственно 0.0033 и 0.0099 локтей. Общий объём первого ряда со стенкой равен примерно объёму одного шарика, а второго ряда около 8.2 шарика. Высокоточная численная интеграция дала соответственно 1.03, 8.30, сумма 9.33. Поэтому надо вычесть из объёма моря 590.7 шариков. Взяв объём шарика 1/1909.86 мы получим объём моря 375.1654 куб. локтей 51 см или 449.997 куб. локтей 48 см. Если же посчитаем объём шарика как яйцо 1/1920 то получим объём моря 449.999 локтей 48 см! Эта относительная погрешность 1/500,000. Конечно, что эта точность теоретическая, поскольку медный сосуд под давлением воды расширится и даже вода под собственным давлением сожмётся.

Подытожим результаты нашего исследования. Очевидно, что царь Соломон знал не только значение числа π с высокой точностью, но и был в состоянии расчитать объём тела вращения с шестью знаками. Но на самом деле речь идет не о человеческой мудрости, а о божественной. Никакой человеческой мудрости не хватило бы, чтобы спланировать сосуд такой простоты и гармонии мер и при этом получить «круглый» объём с 6-ти значной точностью. Также игра слов с линией קו — קוה которая соответствует приближению числа π непрерывной дробью, возможна только, если слово это было придумано для такой цели.

Наш рассказ будет неполным, если мы не приведем реакцию оппонентов. Что они говорят? Игра слов קו/ קוה встречается ещё в двух местах в Писании, у пророка Иеремиягу 31:38 и у пророка Захарии 1:16. Там очевидно речь идет не об окружности и не о числе π. Отсюда следует, что смысл этого разночтения иной, не тот который мы ему приписывали! Что можно на это возразить? Одно и то же слово или сочетание может быть использовано для кодировки разных понятий. Тот факт, что мы не понимаем этой кодировки в одном месте, не умаляет нашего понимания в другом. Тем не менее, я приведу свою интерпретацию этой пары слов в упомянутых двух местах. В обеих речь едёт о будущем расширении Иерусалима. Это расширение детально описано у Ехезкеля в главах 45 и 48. Будущий Иерусалим, точнее — трума, отделенная от всех колен Изриля, будет квадратом 25 на 25 тысяч измерительных стержней (см. там гл. 48—20 и карту ). Поскольку измерительный стержень равен 6 локтям, то размер трумы будет 75 на 75 миль (миль=2000 локтей и по моему расчету равен 1.02 км). Этот квадрат будет разделён на три части. Северные 30 миль будут даны когенам, следующие 30 миль левитам, а южные 15 миль работникам города. Храм будет в центре полосы когенов. К западу и востоку от этого квадрата будет простираться область царя — «наси». К северу от квадрата Иерусалима будет удел 7 колен, а к югу удел 5 колен. Каждое колено получит полосу шириной 75 миль с севера на юг. С помощью дополнительной информации (см. вышеупомянутый сайт) мне удалось восстановить также западную и восточною границу. Оказалось, что площадь 12 колен равна в точности 400 на 400 миль. Однако Талмуд в нескольких местах, например трактат Мегила 3а, утверждает что территория Израиля 400 на 400 парса, где парса равна четырём миль. Таким образом территория Израиля должна быть в 16 раз больше. Мне пришла в голову такая идея. Может быть полоса царя в 75 миль с севера на юг, простирается неограниченно на запад и восток и обхватывает весь земной шар? Об этом в книге Иехезкеля не написано. Зато в Талмуде Хулин 91а утверждается, что ширина лестницы Яакова, по которой поднимались и спускались ангелы, была 8000 парса (два ангела поднимались и два спускались, а ширина ангела 2000 парса). Относительно длины лестницы, Раши (главный комментатор Торы) пишет в книге Берешит 28:17 (на основании мидраша в Берешит Раба 69:7), что основание лестницы находится в Беер-Шеве, а голова в Бейт Эле. Интересно что южная граница квадрата Иерусалима проходит через Беер-Шеву, а северная через Бейт Эль. Напрашивается сравнение: может быть лестница Яакова олицетворяет полосу царя-мессии вокруг земного шара? Не случайно в этом месте в книге Берешит (28:14) Всевышний говорит Яакову «и ты распространишься на запад и на восток, на север и юг». На север и юг — это 12 полос колен, а на запад и на восток —это полоса мессии? Если наша интерпретация верна, то периметр полосы мессии вокруг земного шара должен быть 8000 парса, т.е. 32000 миль или 32640 км. Заметим удивительную вещь. Если полоса эта периметром в 32000 мил, то поскольку её длина с юга на север равна 75 миль, её площадь равна 32000·75 кв. миль. Добавим к этому вычисленную площадь 12 колен (которая не включает квадрат Иерусалима) и получим 400·400 + 32000·75=1600∙1600 кв. миль. В точности, как утверждает Талмуд!

Теперь вычислим периметр полосы Мессии. Храмовая гора в Иерусалиме, точнее центр Святого Святых, находится рядом с центром мечети Омара, на широте 31.777719 градусов. Южная граница квадрата Иерусалима проходит 60 миль или 61.2 км южнее, на широте 31.2258 градусов, а северная — 15 миль севернее, на широте 31.9157 градусов. Середина полосы 22.5 мили к югу от Иерусалима находится на широте 31.57074 градусов. Если мы пересечем земной шар по этой широте то получим круг радиуса 5439.132 км. Периметр этого круга 34175.075 км или 33504.976 миль. Близко к 32000 миль, но не очень. Может ширина лестница считалась исходя из π=3? Ведь лестница вела на небеса, а там по нашему пониманию π=3 (иными словами, лестница была правильным шестиугольником, вписанным в этот круг). Помножим наш радиус на 6. Получим периметр 31994.89 миль. Неплохая точность! Может лестница проходила не на уровне моря, а на высоте гор Израиля? Примерно на широте 31.57, к северу от Хеврона, находится самая высокая точка Иудеи, 1020 м над уровнем моря (это в точности одна миль). На этой высоте надо прибавить к радиусу нашего круга 1.02 cos 31.5707=0.869 км. В результате получим радиус 5440.001 км и периметр 32000.006 миль. Это сверхъестественная точность, за пределами определения радиуса Земли!

Всё это замечательно, но при чём тут קו/ קוה ? Линия, которая окружает будущий квадрат Иерусалима вокруг света, подобна невесте, которая обходит вокруг жениха под хупой. Слово линия קוה женского рода относится к ней. А линия קו мужского пола относится к измерению квадрата самого Иерусалима. Чтобы привести эти две меры к общему знаменателю — площади Израиля, надо помножить женскую полосу на отношение קוה /קו , т.е. на 3/π, и прибавить к площади 12 колен. Если кому-то не нравится, что мы подняли лестницу Яакова на высоту гор Израиля, то можно предложить другое решение. Из точного периметра среднего круга в 33504.98 миль, 75 миль Иерусалима «мужских» а оставшиеся 33429.98 «женских». Последнее число надо помножить на отношение קוה /קו =106/111 и прибавить к 75. Получим 31999.12 миль. Тоже замечательная точность! Есть над чем задуматься.